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洛谷P8815逻辑表达式(CSPJ2022)
209+

题目大意:一个只包含&、|、小括号的逻辑表达式,请勿有多少次短路?(a|b,a为真即短路,a&b,a为假即短路)

题目描述

逻辑表达式是计算机科学中的重要概念和工具,包含逻辑值、逻辑运算、逻辑运算优先级等内容。

在一个逻辑表达式中,元素的值只有两种可能:$0$(表示假)和 $1$(表示真)。元素之间有多种可能的逻辑运算,本题中只需考虑如下两种:“与”(符号为 `&`)和“或”(符号为 `|`)。其运算规则如下:

$0 \mathbin{\&} 0 = 0 \mathbin{\&} 1 = 1 \mathbin{\&} 0 = 0$,$1 \mathbin{\&} 1 = 1$;
$0 \mathbin{|} 0 = 0$,$0 \mathbin{|} 1 = 1 \mathbin{|} 0 = 1 \mathbin{|} 1 = 1$。

在一个逻辑表达式中还可能有括号。规定在运算时,括号内的部分先运算;两种运算并列时,`&` 运算优先于 `|` 运算;同种运算并列时,从左向右运算。

比如,表达式 `0|1&0` 的运算顺序等同于 `0|(1&0)`;表达式 `0&1&0|1` 的运算顺序等同于 `((0&1)&0)|1`。

此外,在 C++ 等语言的有些编译器中,对逻辑表达式的计算会采用一种“短路”的策略:在形如 `a&b` 的逻辑表达式中,会先计算 `a` 部分的值,如果 $a = 0$,那么整个逻辑表达式的值就一定为 $0$,故无需再计算 `b` 部分的值;同理,在形如 `a|b` 的逻辑表达式中,会先计算 `a` 部分的值,如果 $a = 1$,那么整个逻辑表达式的值就一定为 $1$,无需再计算 `b` 部分的值。

现在给你一个逻辑表达式,你需要计算出它的值,并且统计出在计算过程中,两种类型的“短路”各出现了多少次。需要注意的是,如果某处“短路”包含在更外层被“短路”的部分内则不被统计,如表达式 `1|(0&1)` 中,尽管 `0&1` 是一处“短路”,但由于外层的 `1|(0&1)` 本身就是一处“短路”,无需再计算 `0&1` 部分的值,因此不应当把这里的 `0&1` 计入一处“短路”。

输入输出格式

输入格式

输入共一行,一个非空字符串 $s$ 表示待计算的逻辑表达式。

输出格式

输出共两行,第一行输出一个字符 `0` 或 `1`,表示这个逻辑表达式的值;第二行输出两个非负整数,分别表示计算上述逻辑表达式的过程中,形如 `a&b` 和 `a|b` 的“短路”各出现了多少次。

输入输出样例

输入样例 #1

0&(1|0)|(1|1|1&0)

输出样例 #1

1
1 2

输入样例 #2

(0|1&0|1|1|(1|1))&(0&1&(1|0)|0|1|0)&0

输出样例 #2

0
2 3

说明

**【样例解释 \#1】**

该逻辑表达式的计算过程如下,每一行的注释表示上一行计算的过程:

“`plain
0&(1|0)|(1|1|1&0)
=(0&(1|0))|((1|1)|(1&0)) //用括号标明计算顺序
=0|((1|1)|(1&0)) //先计算最左侧的 &,是一次形如 a&b 的“短路”
=0|(1|(1&0)) //再计算中间的 |,是一次形如 a|b 的“短路”
=0|1 //再计算中间的 |,是一次形如 a|b 的“短路”
=1
“`

**【样例 \#3】**

见附件中的 `expr/expr3.in` 与 `expr/expr3.ans`。

**【样例 \#4】**

见附件中的 `expr/expr4.in` 与 `expr/expr4.ans`。

**【数据范围】**

设 $\lvert s \rvert$ 为字符串 $s$ 的长度。

对于所有数据,$1 \le \lvert s \rvert \le {10}^6$。保证 $s$ 中仅含有字符 `0`、`1`、`&`、`|`、`(`、`)` 且是一个符合规范的逻辑表达式。保证输入字符串的开头、中间和结尾均无额外的空格。保证 $s$
中没有重复的括号嵌套(即没有形如 `((a))` 形式的子串,其中 `a` 是符合规范的逻辑表
达式)。

| 测试点编号 | $\lvert s \rvert \le$ | 特殊条件 |
|:-:|:-:|:-:|
| $1 \sim 2$ | $3$ | 无 |
| $3 \sim 4$ | $5$ | 无 |
| $5$ | $2000$ | 1 |
| $6$ | $2000$ | 2 |
| $7$ | $2000$ | 3 |
| $8 \sim 10$ | $2000$ | 无 |
| $11 \sim 12$ | ${10}^6$ | 1 |
| $13 \sim 14$ | ${10}^6$ | 2 |
| $15 \sim 17$ | ${10}^6$ | 3 |
| $18 \sim 20$ | ${10}^6$ | 无 |

其中:
特殊性质 1 为:保证 $s$ 中没有字符 `&`。
特殊性质 2 为:保证 $s$ 中没有字符 `|`。
特殊性质 3 为:保证 $s$ 中没有字符 `(` 和 `)`。

**【提示】**

以下给出一个“符合规范的逻辑表达式”的形式化定义:

– 字符串 `0` 和 `1` 是符合规范的;
– 如果字符串 `s` 是符合规范的,且 `s` 不是形如 `(t)` 的字符串(其中 `t` 是符合规范的),那么字符串 `(s)` 也是符合规范的;
– 如果字符串 `a` 和 `b` 均是符合规范的,那么字符串 `a&b`、`a|b` 均是符合规范的;
– 所有符合规范的逻辑表达式均可由以上方法生成。

解题思路

用栈、递归解决均可,比较保守的写法是转成后缀表达式再计算一遍。

操作数入操作数栈a,运算符入运算符栈b,&优先级最高,如果操作数入栈后,运算符栈顶是&,则优先计算(确定左右儿子)。

遇到右括号,那么这对括号中间只剩下|运算符了,后算的运算符做根节点,计算结果即括号的结果。

最后从根节点(最后算的运算符)开始递归计算表达式的值。中序遍历,先遍历左子树,左子树的值为真,|运算符短路,为假,&运算符短路。

程序实现

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