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洛谷P8820数据传输(CSPS2022)
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题目大意:n个点的树,每个点有点权,多次询问两点之间路径的点权之和,要求每次只能走不超过k步。

题目描述

小 C 正在设计计算机网络中的路由系统。

测试用的网络总共有 $n$ 台主机,依次编号为 $1 \sim n$。这 $n$ 台主机之间由 $n – 1$ 根网线连接,第 $i$ 条网线连接个主机 $a_i$ 和 $b_i$。保证任意两台主机可以通过有限根网线直接或者间接地相连。受制于信息发送的功率,主机 $a$ 能够直接将信息传输给主机 $b$ 当且仅当两个主机在可以通过不超过 $k$ 根网线直接或者间接的相连。

在计算机网络中,数据的传输往往需要通过若干次转发。假定小 C 需要将数据从主机 $a$ 传输到主机 $b$($a \neq b$),则其会选择出若干台用于传输的主机 $c_1 = a, c_2, \ldots, c_{m – 1}, c_m = b$,并按照如下规则转发:对于所有的 $1 \le i < m$,主机 $c_i$ 将信息直接发送给 $c_{i + 1}$。

每台主机处理信息都需要一定的时间,第 $i$ 台主机处理信息需要 $v_i$ 单位的时间。数据在网络中的传输非常迅速,因此传输的时间可以忽略不计。据此,上述传输过程花费的时间为 $\sum_{i = 1}^{m} v_{c_i}$。

现在总共有 $q$ 次数据发送请求,第 $i$ 次请求会从主机 $s_i$ 发送数据到主机 $t_i$。小 C 想要知道,对于每一次请求至少需要花费多少单位时间才能完成传输。

输入输出格式

输入格式

输入的第一行包含三个正整数 $n, Q, k$,分别表示网络主机个数,请求个数,传输参数。数据保证 $1 \le n \le 2 \times {10}^5$,$1 \le Q \le 2 \times {10}^5$,$1 \le k \le 3$。

输入的第二行包含 $n$ 个正整数,第 $i$ 个正整数表示 $v_i$,保证 $1 \le v_i \le {10}^9$。

接下来 $n – 1$ 行,第 $i$ 行包含两个正整数 $a_i, b_i$,表示一条连接主机 $a_i, b_i$ 的网线。保证 $1 \le a_i, b_i \le n$。

接下来 $Q$ 行,第 $i$ 行包含两个正整数 $s_i, t_i$,表示一次从主机 $s_i$ 发送数据到主机 $t_i$ 的请求。保证 $1 \le s_i, t_i \le n$,$s_i \ne t_i$。

输出格式

$Q$ 行,每行一个正整数,表示第 $i$ 次请求在传输的时候至少需要花费多少单位的时间。

输入输出样例

输入样例 #1

7 3 3
1 2 3 4 5 6 7
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7
4 7
5 6
1 2

输出样例 #1

12
12
3

说明

**【样例解释 \#1】**

对于第一组请求,由于主机 $4, 7$ 之间需要至少 $4$ 根网线才能连接,因此数据无法在两台主机之间直接传输,其至少需要一次转发;我们让其在主机 $1$ 进行一次转发,不难发现主机 $1$ 和主机 $4, 7$ 之间都只需要两根网线即可连接,且主机 $1$ 的数据处理时间仅为 $1$,为所有主机中最小,因此最少传输的时间为 $4 + 1 + 7 = 12$。

对于第三组请求,由于主机 $1, 2$ 之间只需要 $1$ 根网线就能连接,因此数据直接传输就是最优解,最少传输的时间为 $1 + 2 = 3$。

**【样例 \#2】**

见附件中的 `transmit/transmit2.in` 与 `transmit/transmit2.ans`。

该样例满足测试点 $2$ 的限制。

**【样例 \#3】**

见附件中的 `transmit/transmit3.in` 与 `transmit/transmit3.ans`。

该样例满足测试点 $3$ 的限制。

**【样例 \#4】**

见附件中的 `transmit/transmit4.in` 与 `transmit/transmit4.ans`。

该样例满足测试点 $20$ 的限制。

**【数据范围】**

对于所有的测试数据,满足 $1 \le n \le 2 \times {10}^5$,$1 \le Q \le 2 \times {10}^5$,$1 \le k \le 3$,$1 \le a_i, b_i \le n$,$1 \le s_i, t_i \le n$,$s_i \ne t_i$。

| 测试点 | $n \le$ | $Q \le$ | $k =$ | 特殊性质 |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| $1$ | $10$ | $10$ | $2$ | 是 |
| $2$ | $10$ | $10$ | $3$ | 是 |
| $3$ | $200$ | $200$ | $2$ | 是 |
| $4 \sim 5$ | $200$ | $200$ | $3$ | 是 |
| $6 \sim 7$ | $2000$ | $2000$ | $1$ | 否 |
| $8 \sim 9$ | $2000$ | $2000$ | $2$ | 否 |
| $10 \sim 11$ | $2000$ | $2000$ | $3$ | 否 |
| $12 \sim 13$ | $2 \times {10}^5$ | $2 \times {10}^5$ | $1$ | 否 |
| $14$ | $5 \times {10}^4$ | $5 \times {10}^4$ | $2$ | 是 |
| $15 \sim 16$ | ${10}^5$ | ${10}^5$ | $2$ | 是 |
| $17 \sim 19$ | $2 \times {10}^5$ | $2 \times {10}^5$ | $2$ | 否 |
| $20$ | $5 \times {10}^4$ | $5 \times {10}^4$ | $3$ | 是 |
| $21 \sim 22$ | ${10}^5$ | ${10}^5$ | $3$ | 是 |
| $23 \sim 25$ | $2 \times {10}^5$ | $2 \times {10}^5$ | $3$ | 否 |

特殊性质:保证 $a_i = i + 1$,而 $b_i$ 则从 $1, 2, \ldots, i$ 中等概率选取。

解题思路

对于a到b的路径,lca为c,我们可以让a先走到c,再让b走到c,相遇的时候计算费用即可。

对于k=3的情况稍微复杂一点,因为还可以走到路径以外的某个儿子,这个儿子是可以确定的,必须是权值最小。

再往上爬树的过程中,这个最小“儿子”转折点也需要往上爬、往上更新。相遇的时候需要考虑各种情况。

对于数据随机生成的点,数高不超过log,所以暴力可以通过,至少可得68分(倍增的分还没拿呢!)

程序实现

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