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洛谷P9750一元二次方程(CSP2023)
389+

题目大意:解方程,按格式要求输出最简化的较大解,包括约分、根号提取整数等等。

题目背景

众所周知,对一元二次方程 $ax ^ 2 + bx + c = 0, (a \neq 0)$,可以用以下方式求实数解:

– 计算 $\Delta = b ^ 2 – 4ac$,则:
1. 若 $\Delta < 0$,则该一元二次方程无实数解。
2. 否则 $\Delta \geq 0$,此时该一元二次方程有两个实数解 $x _ {1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}$。

例如:

– $x ^ 2 + x + 1 = 0$ 无实数解,因为 $\Delta = 1 ^ 2 – 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$。
– $x ^ 2 – 2x + 1 = 0$ 有两相等实数解 $x _ {1, 2} = 1$。
– $x ^ 2 – 3x + 2 = 0$ 有两互异实数解 $x _ 1 = 1, x _ 2 = 2$。

在题面描述中 $a$ 和 $b$ 的最大公因数使用 $\gcd(a, b)$ 表示。例如 $12$ 和 $18$ 的最大公因数是 $6$,即 $\gcd(12, 18) = 6$。

题目描述

现在给定一个一元二次方程的系数 $a, b, c$,其中 $a, b, c$ **均为整数且 $a \neq 0$**。你需要判断一元二次方程 $a x ^ 2 + bx + c = 0$ 是否有实数解,并按要求的格式输出。

**在本题中输出有理数 $v$ 时须遵循以下规则:**

– 由有理数的定义,存在唯一的两个整数 $p$ 和 $q$,满足 $q > 0$,$\gcd(p, q) = 1$ 且 $v = \frac pq$。
– 若 $q = 1$,**则输出 `{p}`,否则输出 `{p}/{q}`**,其中 `{n}` 代表整数 $n$ 的值;
– 例如:

– 当 $v = -0.5$ 时,$p$ 和 $q$ 的值分别为 $-1$ 和 $2$,则应输出 `-1/2`;
– 当 $v = 0$ 时,$p$ 和 $q$ 的值分别为 $0$ 和 $1$,则应输出 `0`。

**对于方程的求解,分两种情况讨论:**

1. 若 $\Delta = b ^ 2 – 4ac < 0$,则表明方程无实数解,此时你应当输出 `NO`;
2. 否则 $\Delta \geq 0$,此时方程有两解(可能相等),记其中较大者为 $x$,则:
1. 若 $x$ 为有理数,则按有理数的格式输出 $x$。
2. 否则根据上文公式,$x$ 可以被**唯一**表示为 $x = q _ 1 + q _ 2 \sqrt r$ 的形式,其中:

– $q _ 1, q _ 2$ 为有理数,且 $q _ 2 > 0$;
– $r$ 为正整数且 $r > 1$,且不存在正整数 $d > 1$ 使 $d ^ 2 \mid r$(即 $r$ 不应是 $d ^ 2$ 的倍数);

此时:

1. 若 $q _ 1 \neq 0$,则按有理数的格式输出 $q _ 1$,并再输出一个加号 `+`;
2. 否则跳过这一步输出;

随后:

1. 若 $q _ 2 = 1$,则输出 `sqrt({r})`;
2. 否则若 $q _ 2$ 为整数,则输出 `{q2}*sqrt({r})`;
3. 否则若 $q _ 3 = \frac 1{q _ 2}$ 为整数,则输出 `sqrt({r})/{q3}`;
4. 否则可以证明存在唯一整数 $c, d$ 满足 $c, d > 1, \gcd(c, d) = 1$ 且 $q _ 2 = \frac cd$,此时输出 `{c}*sqrt({r})/{d}`;

上述表示中 `{n}` 代表整数 `{n}` 的值,详见样例。

如果方程有实数解,则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解,则输出 `NO`。

输入输出格式

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $T, M$,分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 $T$ 行,每行包含三个整数 $a, b, c$。

输出格式

输出 $T$ 行,每行包含一个字符串,表示对应询问的答案,格式如题面所述。

**每行输出的字符串中间不应包含任何空格**。

输入输出样例

输入样例 #1

9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1

输出样例 #1

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

说明

**【样例 #2】**

见附件中的 `uqe/uqe2.in` 与 `uqe/uqe2.ans`。

**【数据范围】**

对于所有数据有:$1 \leq T \leq 5000$,$1 \leq M \leq 10 ^ 3$,$|a|,|b|,|c| \leq M$,$a \neq 0$。

| 测试点编号 | $M \leq$ | 特殊性质 A | 特殊性质 B | 特殊性质 C |
| :-: | :-: | :-: | :-:| :-:|
| $1$ | $1$ | 是 | 是 | 是 |
| $2$ | $20$ | 否 | 否 | 否 |
| $3$ | $10 ^ 3$ | 是 | 否 | 是 |
| $4$ | $10 ^ 3$ | 是 | 否 | 否 |
| $5$ | $10 ^ 3$ | 否 | 是 | 是 |
| $6$ | $10 ^ 3$ | 否 | 是 | 否 |
| $7, 8$ | $10 ^ 3$ | 否 | 否 | 是 |
| $9, 10$ | $10 ^ 3$ | 否 | 否 | 否 |

其中:

– 特殊性质 A:保证 $b = 0$;
– 特殊性质 B:保证 $c = 0$;
– 特殊性质 C:如果方程有解,那么方程的两个解都是整数。

解题思路

50分随便拿:只需要直接开根,输出整数答案即可,需要注意要根据a的正负判断正负号的取值。

100分就是分类讨论模拟,最简分数用gcd约分即可,开根的话用质因数分解即可,另外就是一些细节,什么时候必须输出,什么时候不该输出。

程序实现

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