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洛谷P9751旅游巴士(CSP2023)
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题目大意:一个有向图,第i条道路只有在时间c[i]后才能使用,从起点1出发到终点n,要求出发时间和终止时间都是t的倍数,且不能在任意一个点停留,最早什么时候结束?

题目描述

小 Z 打算在国庆假期期间搭乘旅游巴士去一处他向往已久的景点旅游。

旅游景点的地图共有 $n$ 处地点,在这些地点之间连有 $m$ 条道路。其中 $1$ 号地点为景区入口,$n$ 号地点为景区出口。我们把一天当中景区开门营业的时间记为 $0$ 时刻,则从 $0$ 时刻起,每间隔 $k$ 单位时间便有一辆旅游巴士到达景区入口,同时有一辆旅游巴士从景区出口驶离景区。

所有道路均只能**单向通行**。对于每条道路,游客步行通过的用时均为恰好 $1$ 单位时间。

小 Z 希望乘坐旅游巴士到达景区入口,并沿着自己选择的任意路径走到景区出口,再乘坐旅游巴士离开,这意味着他到达和离开景区的时间都必须是 **$k$ 的非负整数倍**。由于节假日客流众多,**小 Z 在旅游巴士离开景区前只想一直沿着景区道路移动,而不想在任何地点(包括景区入口和出口)或者道路上停留**。

出发前,小 Z 忽然得知:景区采取了限制客流的方法,对于每条道路均设置了一个
“开放时间”$a _ i$,游客只有**不早于 $a _ i$ 时刻**才能通过这条道路。

请帮助小 Z 设计一个旅游方案,使得他乘坐旅游巴士离开景区的时间尽量地早。

输入输出格式

输入格式

输入的第一行包含 3 个正整数 $n, m, k$,表示旅游景点的地点数、道路数,以及旅游巴士的发车间隔。

输入的接下来 $m$ 行,每行包含 3 个非负整数 $u _ i, v _ i, a_ i$,表示第 $i$ 条道路从地点 $u _ i$ 出发,到达地点 $v _ i$,道路的“开放时间”为 $a _ i$。

输出格式

输出一行,仅包含一个整数,表示小 Z 最早乘坐旅游巴士离开景区的时刻。如果不存在符合要求的旅游方案,输出 `-1`。

输入输出样例

输入样例 #1

5 5 3
1 2 0
2 5 1
1 3 0
3 4 3
4 5 1

输出样例 #1

6

说明

**【样例 #1 解释】**

小 Z 可以在 $3$ 时刻到达景区入口,沿 $1 \to 3 \to 4 \to 5$ 的顺序走到景区出口,并在 $6$ 时刻离开。

**【样例 #2】**

见附件中的 `bus/bus2.in` 与 `bus/bus2.ans`。

**【数据范围】**

对于所有测试数据有:$2 \leq n \leq 10 ^ 4$,$1 \leq m \leq 2 \times 10 ^ 4$,$1 \leq k \leq 100$,$1 \leq u _ i, v _ i \leq n$,$0 \leq a _ i \leq 10 ^ 6$。

| 测试点编号 | $n \leq$ | $m \leq$ | $k \leq$ | 特殊性质 |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| $1 \sim 2$ | $10$ |$15$ | $100$ | $a _ i = 0$ |
| $3 \sim 5$ | $10$ | $15$ | $100$ | 无 |
| $6 \sim 7$ | $10 ^ 4$ | $2 \times 10 ^ 4$ | $1$ | $a _ i = 0$ |
| $8 \sim 10$ | $10 ^ 4$ | $2 \times 10 ^ 4$ | $1$ | 无 |
| $11 \sim 13$ | $10 ^ 4$ | $2 \times 10 ^ 4$ | $100$ | $a _ i = 0$ |
| $14 \sim 15$ | $10 ^ 4$ | $2 \times 10 ^ 4$ | $100$ | $u _ i \leq v _ i$ |
| $16 \sim 20$ | $10 ^ 4$ | $2 \times 10 ^ 4$ | $100$ | 无 |

解题思路

跑最短路即可,要求到达终点是t的倍数,那么我们对t取余进行记忆化,因为同等情况下,时间越少越好。

对于每条边有启用时间怎么办?如果到达的时候没启用,我们可以“让出发时间晚t的倍数”,还差多久就加多少个t,这样时间到了就可以过去。

(不能等待1秒,但是可以等待t秒,因为可以晚出发t秒!)

程序实现

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