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洛谷P1552[APIO2012]派遣
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题目大意:n个忍者,薪水是Ci领导力是Li,上级是Bi,级别关系是一棵树,跟可以直接/间接领导子树的所有结点,现在预算是m,选谁做领导、派遣哪些忍者能使得预算范围内派遣数量*领导力最大?[BZOJ2809]

题目背景

在一个忍者的帮派里,一些忍者们被选中派遣给顾客,然后依据自己的工作获取报偿。

题目描述

在这个帮派里,有一名忍者被称之为Master。除了Master以外,每名忍者都有且仅有一个上级。为保密,同时增强忍者们的领导力,所有与他们工作相关的指令总是由上级发送给他的直接下属,而不允许通过其他的方式发送。

现在你要招募一批忍者,并把它们派遣给顾客。你需要为每个被派遣的忍者支付一定的薪水,同时使得支付的薪水总额不超过你的预算。另外,为了发送指令,你需要选择一名忍者作为管理者,要求这个管理者可以向所有被派遣的忍者发送指令,在发送指令时,任何忍者(不管是否被派遣)都可以作为消息的传递人。管理者自己可以被派遣,也可以不被派遣。当然,如果管理者没有被排遣,你就不需要支付管理者的薪水。

你的目标是在预算内使顾客的满意度最大。这里定义顾客的满意度为派遣的忍者总数乘以管理者的领导力水平,其中每个忍者的领导力水平也是一定的。

写一个程序,给定每一个忍者i的上级Bi,薪水Ci,领导力Li,以及支付给忍者们的薪水总预算M,输出在预算内满足上述要求时顾客满意度的最大值。

输入输出格式

输入格式:
第一行包含两个整数N和M,其中N表示忍者的个数,M表示薪水的总预算。

接下来N行描述忍者们的上级、薪水以及领导力。其中的第i行包含三个整数Bi,Ci,Li分别表示第i个忍者的上级,薪水以及领导力。Master满足Bi=0,并且每一个忍者的老板的编号一定小于自己的编号Bi<i。

输出格式:
输出一个数,表示在预算内顾客的满意度的最大值。

输入输出样例

输入样例#1:

5 4
0 3 3
1 3 5
2 2 2
1 2 4
2 3 1

输出样例#1:

6

说明

1 ≤ N ≤ 100,000 忍者的个数;

1 ≤ M ≤ 1,000,000,000 薪水总预算;

0 ≤ Bi < i 忍者的上级的编号;

1 ≤ Ci ≤ M 忍者的薪水;

1 ≤ Li ≤ 1,000,000,000 忍者的领导力水平。

对于 30%的数据,N ≤ 3000。

解题思路

每个忍者都可以做领导,那我们就枚举领导。如果忍者a是领导,那么可以派遣的忍者为子树a所有的结点;现在需要领导力*人数最大,那么尽可能多的派遣忍者就行了,即依次选择子树中薪水要求最小的忍者,这样暴力30就可以拿到了。

每个结点都排序找最小的,复杂度太高。如果用优先队列,而且优先队列可以快速合并,那该多好!左偏树就能解决这个问题。

我们可以用左偏树来合并父亲结点和儿子结点,该结点a的最大乘积,领导力是确定的,人数不确定。我们可以建立一棵大顶堆的左偏树,记录左右儿子a和b、领导力v、薪水c,并用数组c记录总薪水、数组z记录总人数,当数组c的薪水超过m,那就删除根结点(不派遣那个最贵的忍者),知道总薪水不超过m为止。

写代码的时候,需要注意忍者薪水c和薪水总和c是不一样的,合并左偏树的时候,我们是根据忍者薪水来合并的,薪水高的做根结点;看是否超过预算的时候,看的是薪水总和,总和超过m就删除根、不派遣最贵的忍者。还有,合并儿子跟父亲的时候,不能直接合并a和p[a],因为p[a]可能有多个儿子,而且p[a]的薪水可能不算最大的,所以应该和find(p[a])合并,从根开始一次一次进行左偏树合并。

程序实现

如果不想写高级数据结构左偏树,用启发式合并也可以。同样是枚举,计算以每个结点为领导者的最佳答案,取最大者。首先建立n个优先队列;当整棵子树遍历完push到优先队列后,超过预算则不断去掉最高薪水的忍者;这样会出现一个忍者不断的入队和出队,极端复杂度是O(n*n*log2n),会超时。如果用启发式合并,那么复杂度就是O(n*log2n*log2n),因为每次小的集合合并到大的集合,每个结点最多合并log2n次,即入队log2n次。(启发式合并介绍请见梦幻布丁

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