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洛谷P7113排水系统(NOIP2020)
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题目大意:一个拓扑图,深度不超过11,从某些点注入水,通过出边平均流出去,终点有多少水?以分数形式输出。

题目描述

对于一个城市来说,排水系统是极其重要的一个部分。

有一天,小 C 拿到了某座城市排水系统的设计图。排水系统由 个排水结点(它们从 编号)和若干个单向排水管道构成。每一个排水结点有若干个管道用于汇集其他排水结点的污水(简称为该结点的汇集管道),也有若干个管道向其他的排水结点排出污水(简称为该结点的排出管道)。

排水系统的结点中有 个污水接收口,它们的编号分别为 ,污水只能从这些接收口流入排水系统,并且这些结点没有汇集管道。排水系统中还有若干个最终排水口,它们将污水运送到污水处理厂,没有排出管道的结点便可视为一个最终排水口。

现在各个污水接收口分别都接收了 吨污水,污水进入每个结点后,会均等地从当前结点的每一个排出管道流向其他排水结点,而最终排水口将把污水排出系统。

现在小 C 想知道,在该城市的排水系统中,每个最终排水口会排出多少污水。该城市的排水系统设计科学,管道不会形成回路,即不会发生污水形成环流的情况。

输入格式

第一个两个用单个空格分隔的整数 。分别表示排水结点数与接收口数量。
接下来 行,第 行用于描述结点 的所有排出管道。其中每行第一个整数 表示其排出管道的数量,接下来 个用单个空格分隔的整数 依次表示管道的目标排水结点。
保证不会出现两条起始结点与目标结点均相同的管道。

输出格式

输出若干行,按照编号从小到大的顺序,给出每个最终排水口排出的污水体积。其中体积使用分数形式进行输出,即每行输出两个用单个空格分隔的整数 ,表示排出的污水体积为 。要求 互素, 时也需要输出

输入输出样例

输入 #1
5 1
3 2 3 5
2 4 5
2 5 4
0
0
输出 #1
1 3
2 3
输入 #2
见附件中的 water/water2.in
输出 #2
见附件中的 water/water2.ans
输入 #3
见附件中的 water/water3.in
输出 #3
见附件中的 water/water3.ans

说明/提示

【样例 #1 解释】

号结点是接收口, 号结点没有排出管道,因此是最终排水口。
吨污水流入 号结点后,均等地流向 号结点,三个结点各流入 吨污水。
号结点流入的 吨污水将均等地流向 号结点,两结点各流入 吨污水。
号结点流入的 吨污水将均等地流向 号结点,两结点各流入 吨污水。
最终, 号结点排出 吨污水, 号结点排出 吨污水。

【数据范围】

测试点编号

对于全部的测试点,保证

数据保证,污水在从一个接收口流向一个最终排水口的过程中,不会经过超过 个中间排水结点(即接收口和最终排水口不算在内)。

解题思路

显然可以用拓扑排序;但发现深度不超过11,也可以选择使用Bellman-Ford,因为好写也不超时,关键是怎么处理分数的问题。

方法一,显然是暴力通分、约分,通分时不除gcd,会爆long long,应该先除后乘。

方法二:高精度,包括gcd、加法、除法等等。

方法三:为了避免通分、gcd,我们可以把1吨表示乘$60^{11}/60^{11}$,这样每次流到下一层,无论是除2、3、5,都可以整除,终点就是$x/60^{11}$,最后再约分即可,质因子只有2、3、5,我们可以比较方便地判断是否能整除。因为只是超过long long一点点,我们可以用两个变量记录这个数字。

程序实现

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