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洛谷P7910插入排序(CSPJ2021)
138+

题目大意:一个长度为n的数组,不断对他进行修改,边修改边询问第k个位置的值插入排序后的位置在哪。

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生,今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 $\mathcal O(1)$,则插入排序可以以 $\mathcal O(n^2)$ 的时间复杂度完成长度为 $n$ 的数组的排序。不妨假设这 $n$ 个数字分别存储在 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 之中,则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式:

这下面是 C/C++ 的示范代码

“`cpp
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = i; j >= 2; j–)
if (a[j] < a[j-1]) {
int t = a[j-1];
a[j-1] = a[j];
a[j] = t;
}
“`

这下面是 Pascal 的示范代码

“`pascal
for i:=1 to n do
for j:=i downto 2 do
if a[j]<a[j-1] then
begin
t:=a[i];
a[i]:=a[j];
a[j]:=t;
end;
“`

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序,小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业:

H 老师给了一个长度为 $n$ 的数组 $a$,数组下标从 $1$ 开始,并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 $a$ 上的 $Q$ 次操作,操作共两种,参数分别如下:

$1~x~v$:这是第一种操作,会将 $a$ 的第 $x$ 个元素,也就是 $a_x$ 的值,修改为 $v$。保证 $1 \le x \le n$,$1 \le v \le 10^9$。**注意这种操作会改变数组的元素,修改得到的数组会被保留,也会影响后续的操作**。

$2~x$:这是第二种操作,假设 H 老师按照**上面的伪代码**对 $a$ 数组进行排序,你需要告诉 H 老师原来 $a$ 的第 $x$ 个元素,也就是 $a_x$,在排序后的新数组所处的位置。保证 $1 \le x \le n$。**注意这种操作不会改变数组的元素,排序后的数组不会被保留,也不会影响后续的操作**。

H 老师不喜欢过多的修改,所以他保证类型 $1$ 的操作次数不超过 $5000$。

小 Z 没有学过计算机竞赛,因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式

第一行,包含两个正整数 $n, Q$,表示数组长度和操作次数。

第二行,包含 $n$ 个空格分隔的非负整数,其中第 $i$ 个非负整数表示 $a_i$。

接下来 $Q$ 行,每行 $2 \sim 3$ 个正整数,表示一次操作,操作格式见【**题目描述**】。

输出格式

对于每一次类型为 $2$ 的询问,输出一行一个正整数表示答案。

输入输出样例

输入样例 #1

3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3

输出样例 #1

1
1
2

说明

**【样例解释 #1】**

在修改操作之前,假设 H 老师进行了一次插入排序,则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 2, 1$。

在修改操作之前,假设 H 老师进行了一次插入排序,则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 1, 2$。

注意虽然此时 $a_2 = a_3$,但是我们**不能将其视为相同的元素**。

**【样例 #2】**

见附件中的 `sort/sort2.in` 与 `sort/sort2.ans`。

该测试点数据范围同测试点 $1 \sim 2$。

**【样例 #3】**

见附件中的 `sort/sort3.in` 与 `sort/sort3.ans`。

该测试点数据范围同测试点 $3 \sim 7$。

**【样例 #4】**

见附件中的 `sort/sort4.in` 与 `sort/sort4.ans`。

该测试点数据范围同测试点 $12 \sim 14$。

**【数据范围】**

对于所有测试数据,满足 $1 \le n \le 8000$,$1 \le Q \le 2 \times {10}^5$,$1 \le x \le n$,$1 \le v,a_i \le 10^9$。

对于所有测试数据,保证在所有 $Q$ 次操作中,至多有 $5000$ 次操作属于类型一。

各测试点的附加限制及分值如下表所示。

| 测试点 | $n \le$ | $Q \le$ | 特殊性质 |
|:-:|:-:|:-:|:-:|
| $1 \sim 4$ | $10$ | $10$ | 无 |
| $5 \sim 9$ | $300$ | $300$ | 无 |
| $10 \sim 13$ | $1500$ | $1500$ | 无 |
| $14 \sim 16$ | $8000$ | $8000$| 保证所有输入的 $a_i,v$ 互不相同 |
| $17 \sim 19$ | $8000$ | $8000$ | 无 |
| $20 \sim 22$ | $8000$ | $2 \times 10^5$ | 保证所有输入的 $a_i,v$ 互不相同 |
| $23 \sim 25$ | $8000$ | $2 \times 10^5$ | 无 |

解题思路

插入排序,是稳定排序,所以我们排序的时候,必须注意相同大小的时候,比较原来编号。

使用快排容易理解,使用插入排序速度更快,因为原来数据大部分都是有序。

程序实现

暴力做法:

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