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GDKOI2021提高组Day2A游戏
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题目大意:当你有i颗星星的时候,参与游戏获得一颗星星的概率是$\frac{x_i}{y_i}$,失去一颗星星的概率是$\frac{y_i-x_i}{y_i}$,一开始没有星星,请问获得n颗星星的期望是多少?

解题思路

一开始,只有0颗星星,不会减少,可以得出$f_1$和$f_0$的关系:

$f_0 = 1 + \frac{x}{y} f_1 + \frac{y-x}{y} f_0$

$f_1 = (\frac{x}{y} f_0 – 1) * \frac{y}{x} = f_0 – \frac{y}{x}$

当至少1颗星星的时候,跟前后都有关系:

$f_i = 1 + \frac{x}{y} f_{i+1} + \frac{y-x}{y} f_{i-1}$

$f_{i+1} = (f_i – \frac{y-x}{y} f_{i-1} – 1) * \frac{y}{x} = \frac{y}{x} f_i – \frac{y-x}{x} f_{i-1} – \frac{y}{x}$

从$f_2$开始,每一项都跟前两项有联系,都可以转换成若干个$f_0$加上一个常数。推到$f_n = 0$时,即可算出$f_0$。

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