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SSOJ2599宝藏(NOIP2017)
430+

题目大意:n个点,m条边,从1个点出发,到其他各个点的代价之和是多少?每个点的代价为边长*前一个点的深度。

题目描述

参与考古挖掘的小明得到了一份藏宝图,藏宝图上标出了 n 个深埋在地下的宝藏屋, 也给出了这 n 个宝藏屋之间可供开发的 m 条道路和它们的长度。

小明决心亲自前往挖掘所有宝藏屋中的宝藏。但是,每个宝藏屋距离地面都很远, 也就是说,从地面打通一条到某个宝藏屋的道路是很困难的,而开发宝藏屋之间的道路 则相对容易很多。

小明的决心感动了考古挖掘的赞助商,赞助商决定免费赞助他打通一条从地面到某 个宝藏屋的通道,通往哪个宝藏屋则由小明来决定。

在此基础上,小明还需要考虑如何开凿宝藏屋之间的道路。已经开凿出的道路可以 任意通行不消耗代价。每开凿出一条新道路,小明就会与考古队一起挖掘出由该条道路 所能到达的宝藏屋的宝藏。另外,小明不想开发无用道路,即两个已经被挖掘过的宝藏 屋之间的道路无需再开发。

新开发一条道路的代价是:

L代表这条道路的长度,K代表从赞助商帮你打通的宝藏屋到这条道路起点的宝藏屋所经过的 宝藏屋的数量(包括赞助商帮你打通的宝藏屋和这条道路起点的宝藏屋) 。

请你编写程序为小明选定由赞助商打通的宝藏屋和之后开凿的道路,使得工程总代 价最小,并输出这个最小值。

输入输出格式

输入格式:
第一行两个用空格分离的正整数 n 和 m,代表宝藏屋的个数和道路数。

接下来 m 行,每行三个用空格分离的正整数,分别是由一条道路连接的两个宝藏 屋的编号(编号为 1~n),和这条道路的长度 v。

输出格式:
输出共一行,一个正整数,表示最小的总代价。

输入输出样例

输入样例#1: 复制

4 5 
1 2 1 
1 3 3 
1 4 1 
2 3 4 
3 4 1 

输出样例#1: 复制

4

输入样例#2: 复制

4 5 
1 2 1 
1 3 3 
1 4 1 
2 3 4 
3 4 2

输出样例#2: 复制

5

说明

【样例解释1】

小明选定让赞助商打通了 1 号宝藏屋。小明开发了道路 ,挖掘了 2 号宝 藏。开发了道路 ,挖掘了 4 号宝藏。还开发了道路 ,挖掘了 3 号宝 藏。工程总代价为:

【样例解释2】

小明选定让赞助商打通了 1 号宝藏屋。小明开发了道路 ,挖掘了 2 号宝 藏。开发了道路 ,挖掘了 3 号宝藏。还开发了道路 ,挖掘了 4 号宝 藏。工程总代价为:

【数据规模与约定】

对于 20%的数据: 保证输入是一棵树, 且所有的 v 都相等。

对于 40%的数据: 且所有的 v 都相等。

对于 70%的数据:

对于 100%的数据:

解题思路

20、40分:枚举起点(根结点),然后广度优先搜索确定每个点的深度、代价,记录最小代价和。

70分:8个点,完全图也就8*7/2=28条边,因为不会选多余的边,最后必是一棵树,我们可以搜索,从28条边里面选7条,搜索完后判断是否是一棵树,是的话枚举起点计算代价;稍微剪枝一下,分数可以更高。

满分:状态压缩+记忆化搜索,状态1表示编号为1的点,2表示编号为2的点,4表示编号为3的点,3表示编号1和2的点……f[状态]记录该状态的点以及连通需要的最小代价。枚举起点,先把起点加入到连通状态,该代价为0、深度为1;接着搜索下一个可以到达的点——先选一个已连通的点,然后枚举他的边找下一个没连通的点,新的状态就是|新点对应的1,如果当前状态的代价加上边权*深度的代价比新状态的代价更小,更新后继续搜索。注意,每加入一个点,需要记录该点的深度,这样才能让后面计算得更快,剪枝剪得更多。

为什么代价更小才需要搜索呢?同样的代价,各个点的深度是会不一样的呀?的确,同样的状态、同样的代价,点的深度会不同。但是,从一个顶点出发,必能走出最佳路径,如果出现两个相同状态、相同代价(或者更高代价),我们可以先不走,后面走了近路之后必会走回来!

但是如果起点不一样,就需要重新赋初值搜索了,因为可能相反方向搜索过,导致当前方向不能搜索下去。

时间复杂度:O((n!)*(n!)),第一次搜索1个点选11个点、第二次搜索2个点分别选10个点……但是这种情况是不会发生的,因为一个点选了之后,其他点再选同样的很容易就被剪枝了,所以复杂度是O(n!)。剪枝后速度会更快,因为状态一共4096个,每个状态更新的次数应该不会很多。

程序实现

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