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SSOJ2604跳房子(NOIP2017)
194+

题目大意:数轴上有n个格子,位置分别是x[i],分数分别是y[i],现每次只能跳d个,花k个金币后,可跳范围可变为[d-k, d+k],至少花多少金币,才能得到分数s?

题目描述

跳房子,也叫跳飞机,是一种世界性的儿童游戏,也是中国民间传统的体育游戏之一。

跳房子的游戏规则如下:

在地面上确定一个起点,然后在起点右侧画 个格子,这些格子都在同一条直线上。每个格子内有一个数字(整数),表示到达这个 格子能得到的分数。玩家第一次从起点开始向右跳,跳到起点右侧的一个格子内。第二次再从当前位置继续向右跳,依此类推。规则规定:

玩家每次都必须跳到当前位置右侧的一个格子内。玩家可以在任意时刻结束游戏,获得的分数为曾经到达过的格子中的数字之和。

现在小 研发了一款弹跳机器人来参加这个游戏。但是这个机器人有一个非常严重的缺陷,它每次向右弹跳的距离只能为固定的 。小 希望改进他的机器人,如果他花 个金币改进他的机器人,那么他的机器人灵活性就能增加 ,但是需要注意的是,每 次弹跳的距离至少为 。具体而言,当 时,他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 ,…, ;否则(当 时),他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 ,…,

现在小 希望获得至少 分,请问他至少要花多少金币来改造他的机器人。

输入输出格式

输入格式:

第一行三个正整数 ,分别表示格子的数目,改进前机器人弹跳的固定距离,以及希望至少获得的分数。相邻两个数 之间用一个空格隔开。

接下来 行,每行两个正整数 ,分别表示起点到第 个格子的距离以及第 个格子的分数。两个数之间用一个空格隔开。保证 按递增顺序输入。

输出格式:

共一行,一个整数,表示至少要花多少金币来改造他的机器人。若无论如何他都无法获得至少 分,输出

输入输出样例

输入样例#1:

7 4 10
2 6
5 -3
10 3
11 -3
13 1
17 6
20 2

输出样例#1:

2

输入样例#2:

7 4 20
2 6
5 -3
10 3
11 -3
13 1
17 6
20 2

输出样例#2:

-1

说明

【输入输出样例 1 说明】

花费 2 个金币改进后, 小 R 的机器人依次选择的向右弹跳的距离分别为 2, 3, 5, 3, 4,3, 先后到达的位置分别为 2, 5, 10, 13, 17, 20, 对应 1, 2, 3, 5, 6, 7 这 6 个格子。这些格子中的数字之和 15 即为小 R 获得的分数。

输入输出样例 2 说明

由于样例中 7 个格子组合的最大可能数字之和只有 18 ,无论如何都无法获得 20 分

数据规模与约定

本题共 10 组测试数据,每组数据 10 分。

对于全部的数据满足1 ≤ n ≤ 500000, 1 ≤ d ≤2000, 1 ≤ x_i, k ≤ 109, |si| < 105。 对于第 1, 2 组测试数据, n ≤ 10;

对于第 3, 4, 5 组测试数据, n ≤ 500

对于第 6, 7, 8 组测试数据, d = 1

解题思路

线性DP,f[i]表示最终停在第i个格子的最大分数,只要知道第i个格子的前一个格子是哪个,就可以递推求出最大值。如果出现一个f[i]满足分数要求,那么就是可行的。

我们可以花0个金币、1个金币、2个金币……依次来改造机器人,看一下哪个先满足要求,第一个满足要求的,就是最小金币花费。

复杂度光是DP就已经是n放了,是拿不到满分的,如何优化呢?

优化1:从小到大枚举金币,改成二分搜索金币。金币最少花费0个,最多花费x[n]个,每次试一下中间值是否可行:如果可行,那么右边一半不需要再试了,因为范围更大,只会更满足要求;如果不可行,那么左边一半也不需要再试了,因为范围更小的更小不满足要求。

优化2:单调队列优化DP。在求f[i]时,会从前面一段区间的格子选一个最大值跳过来;求f[i+1]时,这个区间会往右平移。出现这种区间平移就可以用单调队列优化。对于两个格子x1和x2(x1<x2),分数分别是y1和y2,如果发现y2分数更多,那么永远不可能选择格子x1,因为能选择x1的时候,x2也可以选择(区间往右平移,x1还在,x2必在),且x2分数更高,那么x1就不会被选。这样,把符合要求的格子放入队列,只要发现队尾(右边)的分数比前一个(左边)的高,就删掉前一个,这样的队列就是单调递减的(不出现递增的情况)。在选择前一个格子跳过来的时候,选择队头(单调递减,队头分数最高)。

单调队列优化,需要注意的是,即使格子不在前一格可选范围内,如果不超过右边界,也需要先入队,因为他后面的有可能满足可选范围。入队完毕后,再从队头删掉不满足可选范围的格子就行。如果求f[i]时,队列为空,那就是无法跳到第i个格子,f[i]为无穷小就行,后面用到也不会有影响;此时还需要继续求后门的f[i],因为当前格子到不了,后门的也是有可能能到达的。

程序实现

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