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SSOJ2923Fibonacci前n项和
126+

题目大意:求Fibonacci前n项和,n很大,怎么快速求解?

题目描述

大家都知道 Fibonacci 数列吧,f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,,fn=fn1+fn2

现在问题很简单,输入 nm,求 {fn} 的前 n 项和 Snmodm

输入

输入 n,m

输出

输出前 n 项和 Snmodm

提示

样例输入

5 1000

样例输出

12

对于 100% 的数据, 1n2×109,1m109+10

解题思路

前n项:1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

前n项和:1 2 4 7 12 20 33 …

上下一看,发现$s_n = f_{n+2} – 1$,套用上一题的矩阵快速幂即可。

程序实现

当然,不是所有题目都有这么明显的规律,我们也可以尝试推一下,退出多种矩阵乘法!

他们中有fn、sn,那么他们与前一项有什么关系呢?

$s_n = s_{n-1} + f_n$,$f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$

可以得到:$s_n = s_{n-1} + f_{n-1} + f_{n-2}$。

设一个三行一列的矩阵:

$s_n$

$f_{n}$

$f_{n-1}$

希望下一次能够推出:

$s_{n+1}$

$f_{n+1}$

$f_{n}$

那么需要左边乘上一个矩阵T:

1 1 1

0 1 1

0 1 0

乘n-1次,即可得到sn。如何求矩阵T的n-1次方?需要用到单位矩阵:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

当然,还有其他各种矩阵可以解决这个问题。我们需要做的,就是自己思考出来,无论题目怎么变都能想出方法解决。

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